数学专题 · 一次函数与几何综合一次函数背景下的
一次函数背景下的
最值与最大张角问题
一个动点，三类最值，几何与代数的多种视角。
先读题，再观察
在平面直角坐标系 xOy 中，A(3, 0)、B(9, 0) 在 x 轴上，P 是函数 y = (√3/3)x 图象上的动点，连接 AP、BP。
- 求 AP² + BP² 的最小值。
- 当 ∠APB 最大时，求点 P 的坐标。
变式 B(9, 0)，A 是线段 OB 上的动点，P 在上述函数图象上。若 ∠APB = 90°，求 OA 的最大值。
五种解法动态演示
拖动 P 或 A，实时观察线段、角度与最值的关系；也可自动播放。
中线长定理参数与二次函数隐圆与最大张角斜率与向量变式 OA 最值
进入互动演示 →02 · 理解与归纳完整多解法详解
按题目、考点、解法、反思和易错点逐步阅读，对比同一问题的几何与代数思路。
初中学习可优先看中线长定理、参数法和隐圆法；向量法作为拓展。
阅读解答 →完成后展开：答案与关键结论
| 问题 | 结论 | 关键位置 |
|---|---|---|
| AP² + BP² 的最小值 | 36 | P(9/2, 3√3/2) |
| ∠APB 的最大值 | 90° | 直线与以 AB 为直径的圆的切点 |
| 变式中 OA 的最大值 | 3 | A(3, 0)，P(9/2, 3√3/2) |
共同思路：将最值问题转化为到定点的距离、二次函数配方或圆与直线相切的临界状态。
原始资料
保留资料中的原题和完整书面解答，便于打印、练习与教研。
来源：原有资料中的“第3周教研问题”。