第3周教研问题 · 多解法解答

一次函数背景下的最值与最大张角问题（含变式）

一、题目重现

原题 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（3，0），B（9，0）是 x 轴上的两点，P 是函数 y = (√3/3)x 图象上一动点，连接 AP，BP。

1. 则 AP² + BP² 的最小值为？
2. 当 ∠APB 最大时，点 P 的坐标是？

变式 如上图，在平面直角坐标系 xOy 中，B（9，0），A 是线段 OB 上的一个动点，P 是函数 y = (√3/3)x 图象上一动点，连接 AP，BP。若 ∠APB = 90°，求 OA 的最大值。

基础数据：直线 y = (√3/3)x 过原点，与 x 轴正半轴夹角为 30°；可设直线上任意一点 P(√3t, t)（t ≥ 0）。

二、答案速查表

三问的最终结论汇总如下，便于快速核对：

三、考点分析

本题组覆盖初三核心几何代数考点，各问对应关系如下：

思想方法：化折为直（勾股）、隐圆构造（定弦定角 / 直径圆）、临界相切、数形结合、函数与方程思想。

四、第(1)问：AP² + BP² 的最小值

本问给出两种解法：几何法揭示本质，代数法提供通性通法，两条路径互相验证。

方法一：中线长定理（几何法，推荐讲解）

思路：折线段平方和 → 取 AB 中点，用"中线长定理"把两个平方和转化为"到定点距离 + 定值"。

取 AB 中点 M(6, 0)，则 AM = BM = 3。由中线长定理（平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和）：

AP² + BP² = 2(PM² + AM²) = 2PM² + 18。

所以只需求 PM 的最小值：P 在直线 y = (√3/3)x 上运动，PM 的最小值 = 点 M 到该直线的距离。

求距离（初中几何法）：直线与 x 轴夹角 30°，过 M 作 MN ⊥ 直线于 N，在含 30° 角的直角三角形中，斜边 OM = 6，则 MN = OM · sin30° = 3。

所以 AP² + BP² 的最小值 = 2 × 3² + 18 = 36。

此时垂足 N 即为 P：在 Rt△OMN 中，ON = OM · cos30° = 6 × (√3/2) = 3√3，故 P(3√3 · cos30°, 3√3 · sin30°)，即 P(9/2, 3√3/2)。

方法二：参数代数法（二次函数，通性通法）

思路：设点 → 表示距离平方和 → 配方求最值。

设 P(√3t, t)，A(3, 0)，B(9, 0)：

• AP² = (√3t − 3)² + t² = 4t² − 6√3t + 9
• BP² = (√3t − 9)² + t² = 4t² − 18√3t + 81

所以 AP² + BP² = 8t² − 24√3t + 90 = 8(t − (3√3)/2)² + 36 ≥ 36。

当 t = (3√3)/2 时取最小值 36，此时 P(9/2, 3√3/2)。

点评：方法一几何意义清晰（最小值 = 中点到直线的距离），方法二是"设参 — 建函数 — 求最值"的通用套路，考试中书写最稳妥；两法互相验证。

五、第(2)问：∠APB 最大时 P 的坐标

本问给出三种解法：隐圆法揭示问题的几何本质（经典"米勒问题"），另两种代数方法适合不同层次的学生。

方法一：隐圆法（圆周角定理 + 相切，推荐讲解）

思路：把"张角最大"转化为"点与圆的位置关系"。

关键结论：以 AB 为直径作圆，圆心 M(6, 0)，半径 r = 3。

• 若 P 在圆上，由"直径所对的圆周角是直角"，∠APB = 90°；
• 若 P 在圆外，∠APB ＜ 90°；若 P 在圆内，∠APB ＞ 90°。

因此 ∠APB 取最大值 90° 的充要条件是：P 落在以 AB 为直径的圆上，且直线上其他点都不在圆内。

判定相切：圆心 M(6, 0) 到直线 y = (√3/3)x 的距离。直线与 x 轴成 30°，M 在 x 轴上，OM = 6，故距离 d = 6 · sin30° = 3 = r。

直线与该圆恰好相切，切点唯一，且切点就是过 M 向直线所作垂线的垂足：OM = 6，垂足 P 满足 OP = OM · cos30° = 3√3，所以 P(9/2, 3√3/2)，此时 ∠APB 的最大值 = 90°。

几何解释：直线上除切点外的所有点都在圆外，张角都小于 90°；切点在圆上，张角恰为 90°，故为最大。

方法二：斜率正切法（代数法）

思路：设 P(√3t, t)，用两条直线 PA、PB 的斜率表示 tan∠APB。

• k(PA) = t / (√3t − 3)
• k(PB) = t / (√3t − 9)

两条直线夹角的正切绝对值为 |(k(PB) − k(PA)) / (1 + k(PA)·k(PB))|。斜率不存在或分母为零时，应另用几何关系判断。

分子：k(PB) − k(PA) = 6t / [(√3t − 3)(√3t − 9)]；

分母部分：1 + k(PA)·k(PB) = [4t² − 12√3t + 27] / [(√3t − 3)(√3t − 9)]，其中分子 4t² − 12√3t + 27 = 4(t − (3√3)/2)² ≥ 0。

注意：斜率式的分母可能变号，不能直接断言 1 + k(PA)·k(PB) 恒非负。判断实际张角可用余弦定理：cos∠APB = (AP² + BP² − AB²)/(2AP·BP) = [4t² − 12√3t + 27]/(AP·BP) ≥ 0。因此 ∠APB ≤ 90°；当且仅当 t = (3√3)/2 时取等号，∠APB = 90° 为最大。此时 P(9/2, 3√3/2)。

方法三：向量数量积法（高中衔接视角）

设 P(√3t, t)。取向量 PA = (3 − √3t, −t)，PB = (9 − √3t, −t)：

PA · PB = (3 − √3t)(9 − √3t) + t² = 4t² − 12√3t + 27 = 4(t − (3√3)/2)² ≥ 0。

数量积恒非负 ⟺ 夹角 ∠APB ≤ 90°，当且仅当 t = (3√3)/2 时数量积为 0，夹角最大为 90°，此时 P(9/2, 3√3/2)。

点评：三法殊途同归。隐圆法揭示本质（最大张角 = 直径圆与直线相切，即经典的"米勒问题"），方法二、三把几何最值代数化，适合不同层次的学生。

六、变式：∠APB = 90°，求 OA 的最大值

变式将原题的动点从 P 转移到 A，以下给出两种解法，并在最后说明变式与原题的内在联系。

方法一：隐圆法 + 点到直线的距离（推荐讲解）

思路：∠APB = 90° ⟺ P 在以 AB 为直径的圆上。A 是动点，圆随之变化，要求"圆与直线有公共点"。

设 OA = a（0 ≤ a ≤ 9），则 A(a, 0)，以 AB 为直径的圆：圆心 C((a + 9)/2, 0)，半径 r = (9 − a)/2。

∠APB = 90° 有解 ⟺ 该圆与直线 y = (√3/3)x 有公共点 ⟺ 圆心到直线的距离 d ≤ r。

圆心 C 的横坐标为 (a + 9)/2，C 在 x 轴上，故 d = ((a + 9)/2) · sin30° = (a + 9)/4。

由 (a + 9)/4 ≤ (9 − a)/2，得 a + 9 ≤ 2(9 − a)，即 3a ≤ 9，a ≤ 3。

所以 OA 的最大值为 3。此时 a = 3，圆心 C(6, 0)，半径 3，圆与直线相切，切点 P(9/2, 3√3/2) —— 恰好回到原题的图形（A(3,0) 与 P(9/2, 3√3/2)），与第(2)问互相印证。

方法二：一线三直角（K 型相似）+ 判别式

思路：用"一线三直角"模型把几何条件翻译成方程，再用判别式求参数范围。

作 PD ⊥ x 轴于 D，则 D(√3t, 0)，PD = t。

因为 ∠APB = 90°，所以 ∠APD + ∠BPD = 90°；又 ∠PBD + ∠BPD = 90°（Rt△PDB 中），所以 ∠APD = ∠PBD。

又 ∠ADP = ∠PDB = 90°，所以 △ADP ∽ △PDB，得 PD² = AD · DB（射影定理）。

代入：t² = (√3t − a)(9 − √3t)，整理得关于 t 的一元二次方程：

4t² − √3(a + 9)t + 9a = 0。

"存在 P 使 ∠APB = 90°" ⟺ 该方程有实数解 ⟺ 判别式 Δ ≥ 0：

Δ = 3(a + 9)² − 144a ≥ 0，即 a² − 30a + 81 ≥ 0，(a − 3)(a − 27) ≥ 0。

解得 a ≤ 3 或 a ≥ 27；又 A 在线段 OB 上，0 ≤ a ≤ 9，故 a ≤ 3，OA 最大值为 3。

当 a = 3 时 Δ = 0，t = (3√3)/2，P(9/2, 3√3/2)，与方法一结果一致。

解后反思（变式与原题的联系）

1. 变式是原题第(2)问的"逆向设问"：原题固定 A、B 求 90° 张角的位置；变式固定 B、P 的约束，反推动点 A 的范围。
2. 临界状态都是"以 AB 为直径的圆与直线 y = (√3/3)x 相切"，切点恒为 P(9/2, 3√3/2) —— 这正是原题第(1)(2)问的最值点，三问一脉相承。
3. 教学建议：先讲方法一（隐圆模型，直观），再用方法二示范"几何条件代数化"的通法；变式可让学生体会"动点问题的临界相切"思想。

七、易错点提示

批改与讲评时，建议重点关注学生最容易出错的以下五处：